Kaçış, henüz çocukken Afganistan'dan kaçıp mülteci olarak Danimarka'ya giden Amin'in hayatına odaklanıyor. Amin, 36 yaşında başarılı bir akademisyendir. O henüz çocuk yaştayken, mülteci olarak Avrupa'ya gelmiştir. Amin, evlenmek üzere olduğu sırada, yirmi yıl boyunca kaçmaya çalıştığı, hayatının alt üst olmasına neden olacak korkunç sırlarla yüzleşmek zorunda kalır.